第一章 集合与函数概念

　　一、选择题

　　1．已知全集U＝{0，1，2}且UA＝{2}，则集合A的真子集共有( )． A．3个

　　B．4个

　　C．5个

　　D．6个

　　2．设集合A＝{x|1＜x≤2}，B＝{ x|x＜a}，若A?B，则a的取值范围是( )． A．{a|a≥1}

　　B．{a|a≤1}

　　C．{a|a≥2}

　　D．{a|a＞2}

　　A，3．A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A?B?则m的取值集合是( )．

　　1??1

　　－? A．?，

　　2??3

　　11???11?11? －， ? C．? ? B．?0， D．， ??，?0，32?32???2??3

　　4．设I为全集，集合M，N，P都是其子集，则图中的阴影部分表示的集合为( )． A．M ∩(N∪P) B．M ∩(P ∩IN)

　　C．P ∩(IN ∩IM )

　　(第4题)

　　D．(M ∩N)∪(M ∩P)

　　y－3?

　　5．设全集U＝{(x，y)| x∈R，y∈R}，集合M＝?＝1?， ?(x，y)|

　　?

　　x－2

　　?

　　P＝{(x，y)|y≠x＋1}，那么U(M∪P)等于( )．

　　A．? C．(2，3)

　　B．{(2，3)}

　　D．{(x，y)| y＝x＋1}

　　6．下列四组中的f(x)，g(x)，表示同一个函数的是( )． A．f(x)＝1，g(x)＝x C．f(x)＝x2，g(x)＝(x)4 7．函数f(x)＝A．y轴对称

　　x2

　　B．f(x)＝x－1，g(x)＝－1

　　x

　　D．f(x)＝x3，g(x)＝x9

　　1

　　－x的图象关于( )． x

　　B．直线y＝－x对称 D．直线y＝x对称

　　C．坐标原点对称

　　1

　　8．函数f(x)＝(x∈R)的值域是( )．

　　1＋xA．(0，1) B．(0，1] C．[0，1)

　　D．[0，1]

　　9．已知f(x)在R上是奇函数，f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝

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　　( )．

　　A．－2 B．2 C．－98 D．98

　　10．定义在区间(－∞，＋∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0，＋∞)的图象与f(x)的图象重合．设a＞b＞0，给出下列不等式：

　　①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)；②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)；

　　③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)；④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a).

　　其中成立的是( )．

　　A．①与④

　　二、填空题

　　11．函数y?x?1?x的定义域是．

　　12．若f(x)＝ax＋b(a＞0)，且f(f(x))＝4x＋1，则f(3)＝．

　　13．已知函数f(x)＝ax＋2a－1在区间[0，1]上的值恒正，则实数a的取值范围是 ．

　　14．已知I＝{不大于15的正奇数}，集合M∩N＝{5，15}，(IM)∩(IN)＝{3，13}，M ∩(IN)＝{1，7}，则M＝N＝

　　15．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}且B≠?，若A∪B＝A，则m的取值范围是_________．

　　16．设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x3)，那么当x∈(－∞，0]时，f(x)＝

　　三、解答题

　　17．已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{ x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，且?(A∩B)，A∩C＝?，求a的值．

　　18．设A是实数集，满足若a∈A，则 B．②与③ C．①与③ D．②与④ 1 A． ∈A，a≠1且11－a

　　(1)若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素．

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　　(2)A能否为单元素集合？请说明理由．

　　(3)若a∈A，证明：1－

　　19．求函数f(x)＝2x2－2ax＋3在区间[－1，1]上的最小值．

　　1∈A． a

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　　20．已知定义域为R的函数f(x)＝

　　(1)求a，b的值； －2x＋b2＋a是奇函数．

　　(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．

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　　参考答案

　　一、选择题

　　1．A

　　解析：条件UA＝{2}决定了集合A＝{0，1}，所以A的真子集有?，{0}，{1}，故正确选项为A．

　　2．D

　　解析：在数轴上画出集合A，B的示意图，极易否定A，B．当a＝2时，2 B，故不满足条件A?B，所以，正确选项为D．

　　3．C

　　解析：据条件A∪B＝A，得B?A，而A＝{－3，2}，所以B只可能是集合?，{－3}，{2}，所以，m的取值集合是C．

　　4．B

　　解析：阴影部分在集合N外，可否A，D，阴影部分在集合M内，可否C，所以，正确选项为B．

　　5．B

　　解析：集合M是由直线y＝x＋1上除去点(2，3)之后，其余点组成的集合．集合P是坐标平面上不在直线y＝x＋1上的点组成的集合，那么M ?P就是坐标平面上除去点(2，

　　3)外的所有点组成的集合．由此U(M ?P)就是点(2，3)的集合，即U(M ?P)＝{(2，3)}．故正确选项为B．

　　6．D

　　解析：判断同一函数的标准是两函数的定义域与对应关系相同，选项A，B，C中，两函数的定义域不同，正确选项为D．

　　7．C

　　解析：函数f(x)显然是奇函数，所以不难确定正确选项为C．取特殊值不难否定其它选项．如取x＝1，－1，函数值不等，故否A；点(1，0)在函数图象上，而点(0，1)不在图象上，否选项D，点(0，－1)也不在图象上，否选项B．

　　8．B

　　解析：当x＝0时，分母最小，函数值最大为1，所以否定选项A，C；当x的绝对值取值越大时，函数值越小，但永远大于0，所以否定选项D．故正确选项为B．

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　　9．A

　　解析：利用条件f(x＋4)＝f(x)可得，f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)，再根据f(x)在R上是奇函数得，f(7)＝－f(1)＝－212＝－2，故正确选项为A．

　　10．C

　　解析：由为奇函数图像关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称，函数f(x)，g(x)在区间[0，＋∞)上图象重合且均为增函数，据此我们可以勾画两函数的草图，进而显见①与③正确．故正确选项为C．

　　二、填空题

　　11．参考答案：{x| x≥1}．

　　解析：由x－1≥0且x≥0，得函数定义域是{x|x≥1}．

　　12．参考答案：19． 3

　　解析：由f(f(x))＝af(x)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋1，所以a2＝4，ab＋b＝1(a＞0)，解得

　　1911a＝2，b＝，所以f(x)＝2x＋，于是f(3)＝． 333

　　?1? 13．参考答案：?，＋∞ ?． ?2?

　　解析：a＝0时不满足条件，所以a≠0．

　　(1)当a＞0时，只需f(0)＝2a－1＞0；

　　(2)当a＜0时，只需f(1)＝3a－1＞0．

　　?1? 综上得实数a的取值范围是?，＋∞ ? ． 2??

　　14．参考答案：{1，5，7，15}，{5，9，11，15}．

　　解析：根据条件I＝{1，3，5，7，9，11，13，15}，M∩N＝{5，15}，M∩(IN)＝{1，7}，得集合M＝{1，5，7，15}，再根据条件(IM)∩(IN)＝{3，13}，得N＝{5，9，11，15}．

　　15．参考答案：(2，4]．

　　－2?m＋1≥?解析：据题意得－2≤m＋1＜2m－1≤7，转化为不等式组?m＋1＜2m－1，解得m的取

　　?2m－1≤ 7?

　　值范围是(2，4]．

　　16．参考答案：x(1－x3)．

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　　解析：∵任取x∈(－∞，0]，有－x∈[0，＋∞)，

　　∴ f(－x)＝－x［1＋(－x)3］＝－x(1－x3)，

　　∵ f(x)是奇函数，∴ f(－x)＝－f(x)．

　　∴ f(x)＝－f(－x)＝x(1－x3)，

　　即当x∈(－∞，0]时，f(x)的表达式为f(x)＝x(1－x3)．

　　三、解答题

　　17．参考答案：∵B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，

　　C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{－4，2}，

　　∴由A∩C＝?知，－4 A ，2 A；

　　由?(A∩B)知，3∈A．

　　∴32－3a＋a2－19＝0，解得a＝5或a＝－2．

　　当a＝5时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝B，与A∩C＝?矛盾．

　　当a＝－2时，经检验，符合题意．

　　18．参考答案：(1)∵ 2∈A，

　　11＝＝－1∈A； 1－a1－2

　　111∴＝＝∈A； 1－a1＋12∴

　　∴11＝＝2∈A． 1－a1－2

　　因此，A中至少还有两个元素：－1和

　　(2)如果A为单元素集合，则a＝

　　实数范围内，A不可能是单元素集．

　　(3)证明： a∈A?1． 21，整理得a2－a＋1＝0，该方程无实数解，故在1－a1－a111∈A? ∈A?∈A，即1－∈A． 11－aa1－a＋11－1－a

　　2a?a2?19．参考答案： f(x)＝2?x－?＋3－． 2?2?

　　(1)当a＜－1，即a＜－2时，f(x)的最小值为f(－1)＝5＋2a； 2

　　aa2?a?(2)当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，f(x)的最小值为f??＝3－； 22?2?

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　　(3)当a＞1，即a＞2时，f(x)的最小值为f(1)＝5－2a． 2

　　a＜－2，?5＋2a，

　　???a2

　　综上可知，f(x)的最小值为?3－， －2≤a≤2，2??5－2a， a＞2．??

　　20．参考答案：(1)∵函数f(x)为R上的奇函数， ∴ f(0)＝0，即－1＋b＝0，解得b＝1，a≠－2， 2＋a

　　． 从而有f(x)＝－2x＋1

　　2＋a

　　1－＋1－2＋1又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2． 1＋a4＋a

　　(2)先讨论函数f(x)＝－2x＋1

　　2x＋1＋2＝－11＋x的增减性．任取x1，x2∈R，且x1＜x2，22＋1

　　， f(x2)－f(x1)＝1

　　2＋1x2－12＋1x1＝2x1－2x2(2＋1)(2＋1)x2x1

　　∵指数函数2x为增函数，∴2x1－2x2＜0，∴ f(x2)＜f(x1)， ∴函数f(x)＝－2x＋1

　　2x＋1＋2是定义域R上的减函数．

　　由f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0得f(t2－2t)＜－f(2t2－k)， ∴ f(t2－2t)＜f(－2t2＋k)，∴ t2－2t＞－2t2＋k (?)． 由(?)式得k＜3t2－2t．

　　1?1111? －?．又3t2－2t＝3(t－)2－≥－，∴只需k＜－，即得k的取值范围是?－∞， 33333??

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